Calcul de primitives

Définition :

soit f une fonction définie sur un intervalle I.

Une fonction F, définie sur I est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I

et si pour tout x élément de I : F’(x) = f (x).

Exemple
Soit f définie sur par f(x)=4

F définie par F(x) = 4x est définie et dérivable sur et pour tout réel : F’(x) = f (x)

donc : F est une primitive de f sur .

Si on définit maintenant la fonction G sur par : G(x) = 4x + 3

alors G est dérivable sur et pour tout réel :
G’(x) = f (x), donc G est aussi une primitive de f sur .

2/ Relation entre deux primitives

Théorème
soit f une fonction définie sur un intervalle I.

Si f admet une primitive F sur I alors les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme :

  avec k réel.

Autrement dit : deux primitives d’une même fonction, sur un intervalle, ne diffèrent que d’une constante.

Démonstration

Sens direct

Soit G fonction définie sur I par G(x) = F(x) + k avec k réel.

Par addition, G est dérivable sur I. De plus : G’(x) = F’(x) = f (x) pour tout x de I

donc G est une primitive de f sur I

Réciproque :
Soit G une autre primitive de f sur I.

Considérons la fonction définie sur I par h(x) = G(x) – F(x).

Par soustraction, h est dérivable sur I et pour tout x de I, h’(x) = 0.

I étant un intervalle, h est constante sur I et il existe donc un réel k tel que :

pour tout x de I, h(x) = k.

Il existe donc k réel tel que : G(x) = F (x) + k pour tout x de I.

Illustration graphique :

Soit  la courbe de F.

Toute autre primitive G de f, ne diffère de F que d’une constante k, donc sa courbe est l’image de la courbe de F par la translation de vecteur  

3/ Primitive(s) et condition initiale.

Théorème :

Soit  et

Si f admet une primitive sur I

alors il existe une unique primitive  de f sur I telle que :  .

1) En fixant les valeurs de  et de , on dit que l’on impose à la primitive de respecter une « condition initiale ».

Cette dénomination est empruntée au vocabulaire de la physique, où des primitives sont régulièrement calculées pour trouver l’expression de la vitesse ou de l’accélération.

La condition initiale étant alors fixée par exemple par la donnée de la vitesse  à un instant .

2) D’un point de vue graphique, l’unicité se comprend assez facilement : Fixer une condition initiale, c’est fixer un point par lequel la courbe de la primitive doit passer.

Et par une translation de vecteur colinéaire à , il ne peut exister qu’une seule courbe image de celle de F passant par .

Démonstration :

Existence :

Soit donc :  définie sur I par :  pour tout x de I.
Pour que vérifie la condition initiale, il faut :  ,
soit :

Par construction, la fonction définie pour tout x de I par :

est donc bien une primitive de f sur I telle que : .

Unicité :

Soit  vérifiant les mêmes contraintes.
 et  étant deux primitives de f sur I, elles ne différent que d’une constante k :

Pour tout x de I : .

Donc, en particulier pour   : 
D’où :  et par conséquent : pour tout x de I :

Les fonctions sont donc égales sur I, et il n’existe donc qu’une seule fonction vérifiant les contraintes imposées.

par : .

Si la question posée dans un exercice est :« Trouver une primitive de f sur . »

Alors, il est suffisant de répondre :
F définie sur par  est définie et dérivable sur et pour tout réel :

donc F est une primitive de f sur .

Si la question posée dans un exercice est :  « Trouver toutes les primitives de f sur . » Ou « Trouver l’expression d’une primitive de f sur . »

Il faut
1° chercher une primitive ; prenons ici celle trouvée plus haut.
Et 2° donner l’expression générale d’une primitive.

On complète donc la rédaction donnée à la première question par :

Par conséquent, les primitives de f sur sont de la forme : 

avec k réel.

Si la question posée dans un exercice est  : « Trouver la primitive de f sur qui s’annule en 2. »

Il faut
1° chercher une primitive.
2° donner l’expression générale d’une primitive.
3° trouver la primitive qui vérifie la condition initiale.

On complète donc la rédaction donnée à la première question par :

Par conséquent, la fonction G cherchée est de la forme : 
avec k réel.

Et G vérifie :

Donc :  Soit : 

La primitive de f qui s’annule en 2 est donc la fonction G définie par :

5/ Continuité sur un intervalle : rappels.

Dans la suite du cours, nous allons avoir besoin de parler de la continuité d’une fonction sur un intervalle.

► Continuité sur un intervalle : ( a e b pouvant être des bornes infinies )

f est continue sur l’intervalle ouvert 
si f est continue en  , quel que soit élément de .

Si de plus : a est un nombre fini et  alors f est continue sur .

Et si de plus : b est un nombre fini et  alors f est continue sur .

Du point de vue graphique :

Si f est continue sur  alors la courbe de f peut être tracée sur cet intervalle « sans lever le crayon ».

Fonctions de référence :

Les fonctions affines, polynômes, trigonométriques et valeur absolue sont continues sur .

Les fonctions rationnelles ( quotient de deux polynômes ) sont continues sur chacun des intervalles où elles sont définies.

La fonction racine est continue sur .
Et grâce aux propriétés qui suivent on peut s’appuyer sur la continuité de ces fonctions pour en déduire la continuité d’autres, en effet :

Toute somme, différence ou produit de fonctions continues sur I est continue sur I.

 est continue sur I, si u et v sont continues sur I et si v ne s’annule pas sur I.

De plus, si besoin est, on peut ramener ces résultats à quelque chose de plus local, car :

Si f est continue sur un intervalle I alors f est continue sur tout intervalle inclus dans I.

 On ne parle de continuité sur un ensemble que si cet ensemble est un intervalle.

Si f est continue sur l’intervalle I, alors l’image de I par f est un intervalle.

Ce résultat est en particulier indispensable pour parler de continuité d’une fonction composée.

Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I.
La réciproque, par contre, est fausse.

 

Si  est continue sur  et si  est continue sur  alors  est continue sur  

6/ Condition d’existence d’une primitive

Théorème :

soit f une fonction définie sur un intervalle I.

Si f est continue sur I alors f admet une primitive sur I.

4) Si f est dérivable sur I alors elle est continue sur I et admet donc des
primitives sur I.

7/ Propriétés algébrique des primitives

Voici les trois seules règles qui vont nous être utiles dans nos futurs calculs de primitives :

Si les fonctions f et g admettent sur l’intervalle I les primitives F et G, alors :

Règle n°1 :

La fonction ( f + g ) admet pour primitive la fonction ( F + G ) sur I

La primitive de la somme est donc la somme des primitives, mais

attention :
( f x g )’ ≠ f ’ x g ’
La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées et donc :
La primitive d’un produit n’est pas le produit des primitives !

Règle n°2 :

quel que soit k réel :

Règle qui si on l’applique de droite à gauche à F donne : (kF)’ = kF’ = kf  d’où :

Règle n°3 :

La fonction kf admet pour primitive la fonction kF sur I.

Et conséquence des règles 1 et 3 :
( f – g ) admet ( F – G ) pour primitive sur I.

Ces trois règles évidentes et la maîtrise des formules de dérivation, suffisent pour calculer n’importe qu’elle primitive !

Il est absolument inutile d’apprendre des tableaux entiers de formules de primitives !

Exemple n° 1 :
Soit f définie sur par :

►Existence d’une primitive  :

f en tant que fonction polynôme est continue sur donc elle admet une primitive sur .

►Calcul d’une primitive  :

f est une somme de fonctions donc nous pouvons calculer séparément leurs primitives puis les ajouter, d’après une des règles vue précédemment.

Intéressons nous d’abord à la recherche d’une primitive pour la fonction :

Pour obtenir en dérivant, il faut partir, au coefficient près, de la fonction  :

Or :  et nous voulons (-3) comme coefficient.

Il faut donc ajuster l’égalité pour obtenir (-3) à droite, en multipliant par (-3) et en divisant par 4 :

Or, d’après notre deuxième règle :donc :

Conclusion : une primitive de  est : .

Faisons de même pour une primitive de :

  Donc : 

D’où : une primitive de  est : .

Pour finir, une primitive évidente de : est .

Conclusion :
Une primitive sur de f définie par
est : .
Et si besoin est, toute primitive de f sur I est de la forme : avec k réel.

Exemple n° 2 :
Soit f définie sur par :

►Existence d’une primitive

f en tant que fonction polynôme est continue sur donc elle admet une primitive sur .

►Calcul d’une primitive

Comme pour l’exemple précédent, nous allons essayer d’imaginer quelle fonction il semble falloir dériver pour obtenir quelque chose qui ressemble à f.
donne à penser qu’il faut partir de .

Testons donc la dérivée de : .

Soit f définie sur par :
est une fonction composée.

 Donc :

Il reste donc à travailler sur le coefficient :

Conclusion : Une primitive sur de f définie par est : .

Et si besoin est, toute primitive de f sur I est de la forme : avec k réel.

On ne peut bien entendu traiter tous les cas possibles dans la partie leçon mais ce principe de recherche peut être appliqué à tout type de primitive.

Le plus difficile étant évidemment parfois de trouver de quelle fonction il faut partir.

C’est pour cette raison qu’il faut bien réviser toutes les formules et propriétés concernant la dérivation si l’on veut être à l’aise avec ce chapitre.