Barycentre

 
 
1/ Défintion du barycentre

Définition

Soit le système de points pondérés de l’espace : ( A ; a ) ; (B ; b ) ; ( C ;c ) .
Si la somme des coefficients a+b+c est non nulle alors :

il existe un unique point G de l’espace tel que :

Remarques
1) Les coefficients sont définis à un multiple près, c’est à dire que, pour tout réel k :
G bar ( A ; ka ) ( B ; kb ) ( C ; kc ) = G bar ( A ; a ) ( B ; b ) ( C ; c ).
2) Si a = b = c alors G est appelé isobarycentre des points A, B et C.
Pour 2 points A et B, l’isobarycentre de A et B est leur milieu.
Pour trois points A, B et C, l’isobarycentre est le centre de gravité du triangle ABC.
3) Le barycentre existe si et seulement si la somme des coefficients est non nulle.

2/ Propriétés du barycentre

 

Propriété fondamentale :
soit G bar ( A ; a ) ( B ; b ) ( C ; c )

Pour tout point M de l’espace : 

Conséquences :

1° Position du barycentre  :
* Soit G bar ( A ; a ) ( B ; b).
Pour tout point M de l’espace :
Donc, en particulier en prenant M = A :
Le point G appartient donc à la droite (AB).

D’où la propriété :
►Si G bar ( A ; a ) ( B ; b) alors A, B et G sont alignés.

Réciproquement  : tout point de la droite (AB) peut s’écrire comme barycentre de A et de B.

* Soit G bar ( A ; a ) ( B ; b) ( C ; c ).
Pour tout point M de l’espace :
Donc, en particulier en prenant M = A :

Les vecteurs sont coplanaires donc G appartient au plan (ABC).

D’où la propriété :
►Si G bar ( A ; a ) ( B ; b) ( C ; c ) alors G appartient au plan (ABC).

Réciproquement  : tout point du plan (ABC) peut s’écrire comme le barycentre de A, B et C.

2° Coordonnées du barycentre  :
Considérons l’espace rapporté au repère orthonormé : 

Soit G bar ( A ; a ) ( B ; b) ( C ; c ).

Pour tout point M de l’espace :

Donc, en particulier en prenant M = O : 

 
 
 

L’abscisse du barycentre est la moyenne pondérée des abscisses.
 

L’ordonnée du barycentre est la moyenne pondérée des ordonnées.
 

La côte du barycentre est la moyenne pondérée des côtes

3° Propriété d’associativité du barycentre  :
Soit G bar ( A ; a ) ( B ; b) ( C ; c ) et soit I bar ( B ; b ) ( C ; c ).
Alors : G bar ( A ; a ) ( I ; b+c ).

Démonstration
G bar ( A ; a ) ( B ; b) ( C ; c ) donc : 

I bar ( B ; b ) ( C ; c ) donc pour tout point M de l’espace :
Donc en particulier pour M = G :

Par conséquent :
a+b+c ≠ 0 donc G bar ( A ; a ) ( I ; b+c )

Remarque
Cette propriété est très utilisée pour montrer l’appartenance d’un point à une droite.
Elle sert, en particulier, à démontrer que l’isobarycentre de 3 points est leur centre de gravité.

3/ Réduction de sommes vectorielles
Dans les exercices de recherche d’ensembles de points, on est souvent confronté au besoin de réduire des sommes vectorielles du type :

Deux cas sont possibles :

Cas n° 1 : la somme des coefficients est non nulle.
Alors, le barycentre du système ( A ; a ) ; ( B ; b ) ; ( C ; c ) existe,

Cas n° 2 : la somme des coefficients est nulle.
Alors, le barycentre du système ( A ; a ) ; ( B ; b ) ; ( C ; c ) n’existe pas, et il faut utiliser la relation de Chasles pour éliminer le point M :

La somme est alors indépendante de M et égale au vecteur constant : 

Exemple n° 1
Dans l’espace rapporté au repère orthonormé : 
On considère les points A ( 1 ; 2 ; -1 ), B ( 0 ; 2 ; 1 ) et C ( 3 ; -2 ; 2 ).

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble (E) des points M de l’espace tels que :

 donc le système ( A ; 1 ) ; ( B ; 2 ) ; ( C ; -1 ) admet un barycentre.

Appelons-le G. On a alors d’après la propriété fondamentale du barycentre  :
pour tout point M de l’espace :

donc le système ( A ; 1 ) ; ( B ; 1 ) ; ( C ; -2 ) n’admet pas de barycentre.

En utilisant la relation de Chasles : 
D’où :

(E) est donc la sphère de centre G et de rayon 

Exemple n° 2
Dans l’espace rapporté au repère orthonormé :
On considère les points A ( 1 ; 2 ; -1 ), B ( 0 ; 2 ; 1 ) et C ( 3 ; -2 ; 2 ).

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble ( E ) des points M de l’espace
tels que : 

Avec G bar ( A ; 1 ) ( B ; 2 ) ( C ; -1 ), pour tout point M de l’espace : 

Soit I le milieu du segment [AB].
I est l’isobarycentre de A et de B et on a alors pour tout point M de l’espace :

(E) est l’ensemble des points équidistants de G et de I.
(E) est donc le plan médiateur du segment [GI].

Exemple n° 3
Dans l’espace rapporté au repère orthonormé : 
On considère les points A ( 1 ; 2 ; -1 ), B ( 0 ; 2 ; 1 ) et C ( 3 ; -2 ; 2 ).

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble ( E ) des points M de l’espace
tels que :
Avec G bar ( A ; 1 ) ( B ; 2 ) ( C ; -1 ), pour tout point M de l’espace : 

(E) est le plan orthogonal à (AB) passant par G.

Cours complémentaires : ► Produit scalaire ► Equations de plans ► Représentations de droites

► Sommaire cours maths Terminale S  A voir aussi : ► Sommaire par thèmes ► Sommaire par notions