Barycentre

Cours maths Terminale S

Barycentre :
Le cours de ce module est un rappel des définitions et propriétés du barycentre dans le but de les appliquer à la résolution de problèmes liés à l’espace.
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1/ Défintion du barycentre

Définition

Soit le système de points pondérés de l’espace : { ( A ; a ) ; (B ; b ) ; ( C ;c ) }.
Si la somme des coefficients a+b+c est non nulle alors :

il existe un unique point G de l’espace tel que :

Ce point est appelé barycentre des points A, B et C affectés des coefficients a, b et c

Et noté : G bar ( A ; a ) ( B ; b ) ( C ; c ).


Remarques
1) Les coefficients sont définis à un multiple près, c’est à dire que, pour tout réel k :
G bar ( A ; ka ) ( B ; kb ) ( C ; kc ) = G bar ( A ; a ) ( B ; b ) ( C ; c ).
2) Si a = b = c alors G est appelé isobarycentre des points A, B et C.
Pour 2 points A et B, l’isobarycentre de A et B est leur milieu.
Pour trois points A, B et C, l’isobarycentre est le centre de gravité du triangle ABC.
3) Le barycentre existe si et seulement si la somme des coefficients est non nulle.



2/ Propriétés du barycentre

 

Propriété fondamentale :
soit G bar ( A ; a ) ( B ; b ) ( C ; c )

Pour tout point M de l’espace : 


Conséquences :

Position du barycentre :
* Soit G bar ( A ; a ) ( B ; b).
Pour tout point M de l’espace :
Donc, en particulier en prenant M = A :
Le point G appartient donc à la droite (AB).
D’où la propriété :
Si G bar ( A ; a ) ( B ; b) alors A, B et G sont alignés.

Réciproquement
: tout point de la droite (AB) peut s’écrire comme barycentre de A et de B.


* Soit G bar ( A ; a ) ( B ; b) ( C ; c ).
Pour tout point M de l’espace :
Donc, en particulier en prenant M = A :

Les vecteurs sont coplanaires donc G appartient au plan (ABC).
D’où la propriété :
►Si G bar ( A ; a ) ( B ; b) ( C ; c ) alors G appartient au plan (ABC).

Réciproquement : tout point du plan (ABC) peut s’écrire comme le barycentre de A, B et C.


Coordonnées du barycentre :
Considérons l’espace rapporté au repère orthonormé :  

Soit G bar ( A ; a ) ( B ; b) ( C ; c ).


Pour tout point M de l’espace :


Donc, en particulier en prenant M = O : 

abscisse du barycentre

  
  
  

L’abscisse du barycentre est la moyenne pondérée des abscisses.
 

L’ordonnée du barycentre est la moyenne pondérée des ordonnées.
 

La côte du barycentre est la moyenne pondérée des côtes



3° Propriété d’associativité du barycentre :
Soit G bar ( A ; a ) ( B ; b) ( C ; c ) et soit I bar ( B ; b ) ( C ; c ).
Alors : G bar ( A ; a ) ( I ; b+c ).

Démonstration
G bar ( A ; a ) ( B ; b) ( C ; c ) donc : 

I bar ( B ; b ) ( C ; c ) donc pour tout point M de l’espace :

Donc en particulier pour M = G :
Par conséquent :
a+b+c ≠ 0 donc G bar ( A ; a ) ( I ; b+c )

Remarque
Cette propriété est très utilisée pour montrer l’appartenance d’un point à une droite.
Elle sert, en particulier, à démontrer que l’isobarycentre de 3 points est leur centre de gravité.




3/ Réduction de sommes vectorielles

Dans les exercices de recherche d’ensembles de points, on est souvent confronté au besoin de réduire des sommes vectorielles du type :

Deux cas sont possibles :

Cas n° 1 : la somme des coefficients est non nulle.
Alors, le barycentre du système { ( A ; a ) ; ( B ; b ) ; ( C ; c ) } existe,


Cas n° 2 : la somme des coefficients est nulle.
Alors, le barycentre du système { ( A ; a ) ; ( B ; b ) ; ( C ; c ) } n’existe pas, et il faut utiliser la relation de Chasles pour éliminer le point M :

La somme est alors indépendante de M et égale au vecteur constant : 


Exemple n° 1
Dans l’espace rapporté au repère orthonormé : 
On considère les points A ( 1 ; 2 ; -1 ), B ( 0 ; 2 ; 1 ) et C ( 3 ; -2 ; 2 ).

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble (E) des points M de l’espace tels que :


 donc le système { ( A ; 1 ) ; ( B ; 2 ) ; ( C ; -1 ) } admet un barycentre.
Appelons-le G. On a alors d’après la propriété fondamentale du barycentre :
pour tout point M de l’espace :

donc le système { ( A ; 1 ) ; ( B ; 1 ) ; ( C ; -2 ) } n’admet pas de barycentre.
En utilisant la relation de Chasles : 
D'où :


(E) est donc la sphère de centre G et de rayon 


Exemple n° 2
Dans l’espace rapporté au repère orthonormé :
On considère les points A ( 1 ; 2 ; -1 ), B ( 0 ; 2 ; 1 ) et C ( 3 ; -2 ; 2 ).

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble ( E ) des points M de l’espace

tels que : 

Avec G bar ( A ; 1 ) ( B ; 2 ) ( C ; -1 ), pour tout point M de l’espace : 
Soit I le milieu du segment [AB].
I est l’isobarycentre de A et de B et on a alors pour tout point M de l’espace :


(E) est l’ensemble des points équidistants de G et de I.
(E) est donc le plan médiateur du segment [GI].


Exemple n° 3
Dans l’espace rapporté au repère orthonormé : 
On considère les points A ( 1 ; 2 ; -1 ), B ( 0 ; 2 ; 1 ) et C ( 3 ; -2 ; 2 ).

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble ( E ) des points M de l’espace

tels que :
Avec G bar ( A ; 1 ) ( B ; 2 ) ( C ; -1 ), pour tout point M de l’espace : 


plan orthogonal
(E) est le plan orthogonal à (AB) passant par G.







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