Barycentre de deux points

Le barycentre qui vient du grec barus (lourd, pesant) et de centre, est initialement le centre des poids. Il s’agit donc à l’origine d’une notion physique et mécanique.
Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que centre des poids, que l’on appelle aujourd’hui centre de gravité, est le mathématicien et physicien Archimède au IIIème siècle avant Jésus-Christ.

 Il a écrit dans son traîté sur le centre de gravité des surfaces planes :

« Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout le poids du corps peut être considéré comme concentré. »

 
Son principe des moments et des leviers lui a permis de construire assez simplement le barycentre O de deux points de masses m1 et m2 différentes.





Pour que l’équilibre soit atteint, il faut que les moments m1OA et m2OB soient égaux. Cette condition se traduit par l’égalité vectorielle :
 
 



Point pondéré, point massif
 
 
Définition
 
 Un point pondéré est un couple (A, a) où A est un point du plan ou de l’espace et a est un nombre réel quelconque.
Un point pondéré est aussi appelé point massif ou point coefficient.
Le nombre réel a est appelé masse ou poids ou coefficient du point A.

Barycentre de deux points
 
 Théorème et Définition

Soient (A, a) et (B, b) deux points pondérés tels que .
Alors, il existe un unique point du plan noté G tel que
 
                  

Ce point G est appelé barycentre des points pondérés (A , a) et (B , b).

On dit aussi que G est le barycentre des points A et B affectés des coefficients a et b.

D’après la relation de Chasles, on a





On en déduit



c’est-à-dire
 
 

et puisque





Il existe donc un unique point G vérifiant

 






Point G

Sur la figure les vecteurs  et  sont opposés. On a donc
 
ce qui signifie que G est le barycentre des points pondérés (A, 3) et (B,1) car  

 



Remarques


1) Si a+b=0 on ne peut pas définir le barycentre de (A, a) et (B, b).

2) Si , le barycentre de (A, a) et (A, b) est le point A lui-même.

Si G est l’isobarycentre de (A, a) et de (B, a) avec , alors on a

c’est-à-dire

Puisque

, on en déduit 

et donc
ce qui montre que G est le milieu du segment [AB].

.

Soit k un nombre réel non nul et soit G le barycentre de (A, ka) et (B, kb).

Alors on a

si et seulement si

et puisque  , cela équivaut à

ce qui montre que G est le barycentre de (A, a) et de (B, b).

donc les vecteurs  et  sont colinéaires et les points A, B et G sont alignés.

• Si a et b sont de même signe, on peut se ramener en utilisant l’homogénéité du barycentre au cas où a et b sont tous les deux positifs.

Supposons donc a et b positifs

On a alors 

et comme

,

 


L’égalité 

 et les inégalités 

entraînent que le point G appartient au segment [AB].

 et soit G leur barycentre.

 Alors, pour tout point M du plan ou de

l’espace, on a

Pour tout point M, on a, d’après la relation de Chasles :
 


Or G est le barycentre de (A, a) et (B, b) donc 


d’où 

G est le barycentre de (A, 1) et (b, 2 ) car

 

Et on a 
 

 1 ) Il s’agit d’une propriété importante du barycentre qui permet de remplacer une somme vectorielle par un seul vecteur.

 2 ) Si a+b =0, alors (A, a) et (B, b) n’ont pas de barycentre ; dans ce cas on a




Lorsque a+b = 0, le vecteur  est donc indépendant du point M choisi.

 

 ► Dans le plan


Soit  un repère du plan.

Soient A et B deux points du plan de coordonnées respectives

 (xA, yA) et (xB , yB) dans le repère

.
 .
Alors, le barycentre G de (A, a) et (B, b) avec a+b ≠ 0 a pour coordonnées


 

En utilisant la propriété de réduction en prenant M=0, on a

 

d’où
 



Les vecteurs  et  étant égaux, ils ont les mêmes coordonnées dans le repère

 et le vecteur  a pour coordonnées


 


d’où les coordonnées de G

Coordonnées du barycentre dans un repère

►Dans l’espace
 
 Soit  un repère de l’espace. Soient A et B deux points de

l’espace de coordonnées respectives (xA, yA, zA) et (xB, yB, zB) dans le

repère  .

Alors, le barycentre G de (A, a) et de (B, b) avec a+b ≠ 0 a pour coordonnées

 
 
 

Cours complémentaires : ► Barycentre de trois points ► Applications du barycentre

► Sommaire cours maths 1ère S  A voir aussi : ► Sommaire par thèmes ► Sommaire par notions