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Extrait de support de cours interactif (ici module "Les nombres complexes") utilisé par le professeur et les élèves dans le cadre de tous les cours par visioconférences :
- Divisibilité, nombres premiers
Ces notions étant, bien entendu, revues sous un angle bien plus théorique s’appuyant sur la définition mathématique de la divisibilité dans .png){kind=small}
.
Dans un premier temps, divisibilités dans
et dans .png){kind=small}
sont définies et leurs propriétés respectives sont mises en parallèles et démontrées.
La division euclidienne dans
est rappelée mais sera étudiée en détail dans le module suivant.
La troisième partie du cours concerne les nombres premiers et est construite comme une longue recherche d’outils permettant de savoir si un nombre donné est premier ou non. Différents théorèmes sont alors vus et de nombreuses démonstrations sont réalisées, afin de familiariser l’élève avec certains des raisonnements qu’il rencontrera dans tout ce chapitre.
Le cours se termine enfin par l’étude de la décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers et par l’étude des techniques permettant de trouver l’ensemble des diviseurs d’un nombre.
La partie exercices commence par une recherche de nombres premiers à l’aide du crible d’Eratosthène, recherche expliquée, justifiée et détaillée pas à pas grâce à des questions à la fois théoriques et pratiques.
Les exercices suivants visent la maîtrise des propriétés de la divisibilité et la manipulation de l’écriture des nombres en base 10.
Dans toute cette partie exercices, sont disséminés de nombreux R.O.C afin que l’élève s’habitue à tenir et à rédiger des raisonnements arithmétiques.
- PGCD, division euclidienne, nombres premiers entre eux
, puis étend la définition de cette division à .
La notion de PGCD de deux nombres entiers est ensuite réintroduite dans un cadre théorique.
Une fois l’existence du PGCD justifiée, le cours se transforme en un tour complet des méthodes permettant de le calculer : recherche des diviseurs communs, utilisation de la décomposition en produit de facteurs premiers et enfin algorithme d’Euclide.
La notion de nombres premiers entre eux est définie et le théorème de Bézout est exposé et démontré.
En partant de ce théorème, tous les résultats utiles concernant le pgcd et les nombres premiers entre eux sont passés en revue.
Mais, afin d’éviter le côté catalogue et brouillon, tous ces résultats sont exposés dans un enchaînement logique, justifié et progressif.
Cet enchaînement se terminant par le très important théorème de Gauss.
Dans la partie exercice, manipulation de la division euclidienne dans un premier temps puis utilisation progressive des différents résultats découverts dans la partie cours.
Les exercices vont du simple petit exercice, permettant de découvrir de nouvelles façons de raisonner, au grand exercice de BAC, comportant de nombreuses questions imbriquées.
Dans tous les exercices, de nombreux R.O.C permettent de réviser le cours en apprenant à le redémontrer ou en apprenant à démontrer des propriétés qui en découlent.
- PGCD (rappels), PPCM
La deuxième partie du cours est consacrée au PPCM de deux nombres entiers.
Une fois l’existence du PPCM justifiée, ses diverses propriétés sont exposées et démontrées, dans un enchaînement logique et progressif.
On s’intéresse ensuite aux diverses techniques permettant de le calculer : utilisation de la décomposition en produit de facteurs premiers ou encore déduction à partir du PGCD.
Dans la partie exercice, les principales compétences travaillées sont :
la recherche pratique du PPCM, son utilisation pour résoudre certains problèmes concrets, la recherche ouverte de solutions à un problème arithmétique et le travail sur l’équivalence en terme de solutions entre deux problèmes.
La plupart des exercices s’appuient sur de nombreuses manipulations des propriétés du PGCD et du PPCM.
- Equations diophantiennes
Après un bref rappel des résultats d’arithmétique utiles à la résolution de telles équations, la notion d’équation diophantienne est définie.
Les équations diophantiennes étant du type ax+by=c avec a, b, x et y à valeurs dans
, on s’intéresse dans un premier temps au cas c=0.
Le cas général est ensuite étudié.
Une condition nécessaire et suffisante à l’existence de solutions pour une telle équation est énoncée puis la technique de recherche d’une solution particulière est exposée.
Cette technique, consistant à « remonter l’algorithme d’Euclide », étant une des techniques à maîtriser de ce module, son exposition est faite de façon interactive et pragmatique.
L’étude du cas général est ensuite ramenée au cas particulier c=0 et un exemple de rédaction, type, est donné, l’accent étant mis sur la nécessité de mener une étude réciproque.
La partie cours se termine par un bilan pratique faisant le tour des situations qui peuvent être rencontrées lors de la résolution d’équations diophantiennes et de nombreux conseils sont alors donnés pour éviter les erreurs les plus fréquemment rencontrées.
La partie exercice, presque entièrement constituée d’exercices de BAC, permet de faire un tour d’horizon des différents types d’équations, des différentes difficultés et des différents contextes dans lesquels la résolution de telles équations est utile.
La plupart des démonstrations du cours sont revues dans cette partie, soit dans des R.O.C soit dans de simples questions
- Congruences
La congruence modulo n de deux entiers relatifs est tout d’abord définie, du point de vue de l’égalité de leur reste dans la division euclidienne par n.
Puis, suite à des constatations faites sur l’étude de cas particuliers, une définition équivalente de la congruence est donnée, définition s‘appuyant sur la divisibilité de la différence des deux entiers par n.
De cette équivalence se déduisent alors diverses propriétés, exposées et démontrées.
Il est ensuite question de la notion de classe et de représentant d’une classe, modulo n. Cette étude découlant de l’égalité, modulo n, entre un nombre et son reste dans la division euclidienne par n.
Des exemples pratiques d’utilisation de la congruence et de ses propriétés sont ensuite étudiés et des astuces pour apprendre à manier cette toute nouvelle notion sont données.
La partie cours de termine par le petit théorème de Fermat et son corollaire.
La partie exercice est très progressive.
On apprend tout d’abord à maîtriser les stratégies les plus courantes en matière de congruence puis ces stratégies sont réinvesties dans des exercices plus longs tirés d’annales du BAC.
Les exercices choisis comportent des situations variées allant de la méthode de décryptage d’un code secret à l’étude de nombres entiers énormes, en passant par la résolution de problèmes de parité.
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