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Applications du produit scalaire
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Applications du produit scalaire
Le produit scalaire a de multiples applications.
En physique, par exemple, il est utilisé pour modéliser
le travail d’une force.
Dans ce module nous allons voir quelques unes de
ses applications, en particulier aux relations
métriques dans le triangle, aux équations de droites
et de cercles.
Applications aux problèmes métriques
La première de ces applications est liée à la
médiane d’un triangle.
Le théorème de la médiane ou théorème
d’Apollonius est dû à Apollonius de Perge,
mathématicien grec
( 262 avant JC – 190 avant JC).
Applications aux problèmes métriques
Définition
Soient A et B deux points du plan et I le milieu du
segment [AB].
Alors, pour tout M du plan, on a
Remarque
des trois médianes d’un triangle ABC connaissant les
longueurs de ses trois côtés.
Démonstration du théorème de la médiane
Pour tout M du plan, on a
et
Or
est le milieu du segment [AB] d’où 
et
d’où
on a donc
Nous allons maintenant voir une autre application importante du produit scalaire : la formule d’Al-Kashi.
Cette formule est aussi parfois appelée
« formule des cosinus » ou « théorème de
Pythagore généralisé ».
Cette formule est due au mathématicien
perse Al-Kashi (né vers 1390 à Kashan en
Iran et mort en 1429 à Samarcande en
Ouzbékistan).
Son véritable nom était Ghiyath al’Din
Jamshid Mas’ud al’Kashi.
Les « Eléments » d’Euclide datant du
siècle avant Jésus-Christ contenaient une approche purement
géométrique de la généralisation du théorème de Pythagore,
basée sur des raisonnements en termes de différences
d’aires.
Il a fallu attendre l’apparition de la trigonométrie Arabo-musulmane au Moyen-âge et les travaux d’Al-Kashi, mathématicien de l’école de Samarcande, pour obtenir la formule qui porte aujourd’hui son nom.
Notations
notations allégées suivantes (notations usuelles) :
Dans un triangle ABC, on note
a = BC
b = AC
c = AB
Théorème
Remarques
1) Les trois côtés et les trois angles d’un triangle jouant des rôles similaires, on a aussi :
2) La formule d’Al-Kashi permet dans bien des cas de
résoudre un triangle.
Résoudre un triangle, c’est déterminer ses trois côtés et ses trois angles.
La formule d’Al-Kashi permet, par exemple, de calculer un côté d’un triangle lorsque l’on connait l’angle opposé et les deux autres côtés.
Démonstration de la formule d’Al-Kashi
Or
D’où
Application aux équations de droites
Rappel Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,
, 
).
Equation cartésienne d’une droite
Toute droite du plan admet une équation de la forme
Réciproquement, toute équation de la forme
avec a et b non simultanément nuls est une équation de droite.
Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite.
Remarque Il n’y a pas unicité de l’équation cartésienne d’une droite.
La droite D d’équation .jpg){kind=small}
.jpg){kind=small}
ou
.jpg){kind=small}
ou plus généralement
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où .jpg){kind=small}
est un nombre réel non nul.
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et de vecteur directeur .jpg){kind=small}
de coordonnées (a, b).
Soit M un point quelconque du plan, de coordonnées (x, y).
On a
.jpg){kind=small}
les vecteurs 
et sont colinéaires
le tableau .jpg)
est un tableau de proportionnalité.
Droite définie par un point et un vecteur
Soient a et b deux nombres réels non tous les deux nuls.
Dans un repère quelconque,
- Toute droite de vecteur directeur 
admet pour équation cartésienne
- Réciproquement, l’ensemble des points M(x , y) vérifiant
est une droite dont un vecteur directeur est 
vecteur directeur de la droite.
Le vecteur 
est un vecteur normal à la droite D.
On a 
Toute droite de vecteur normal 
admet une équation de la forme
Toute équation de la forme 
est celle d’une droite de
vecteur normal
et de vecteur directeur 
Soit
un vecteur normal à une droite D et soit 
un point de D.
Un point 
appartient à la droite D si et seulement si 
, c’est-à-dire 
Or
où 
Si a et b sont deux nombres réels tels que 
, alors l’ensemble E des points
tels que est non vide.
En effet, il contient au moins un point A :
- le point 
si 
obtenu en posant 
dans l’équation, d’où 
et 
- ou le point 
si 
Si
, alors .jpg){kind=small}
. L’équation s’écrit 
d’où 
Comme le point A appartient à l’ensemble E, on a 
On en déduit 
ce qui peut s’écrire 
c’est-à-dire 
L’ensemble E cherché est donc la droite passant par A et de vecteur normal
Exemple
Soient A(2,1), B(1,4) et C(5,2) trois points du plan et D la hauteur issue de A
dans le triangle ABC.
Un point appartient à la hauteur D si et seulement si 
.
Calculons les coordonnées des vecteurs 
et 
on a 
et 
On a donc
La hauteur D a donc pour équation cartésienne 
Application aux équations de cercle
Rappel
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, 
, 
).
Le cercle 
de centre 
de rayon r, est l’ensemble des points M du plan tels que
Propriété
Soit le cercle de centre et de rayon r.
Un point appartient au cercle si et
seulement si 
L’équation est une équation du cercle .
Démonstration
Un point appartient au cercle si et seulement si on a , c’est-à-dire 
ce qui s’écrit
car le vecteur 
a pour coordonnées 
Exemples
• Le cercle trigonométrique a pour équation
• Le cercle de centre 
et de rayon 2 à pour équation
Théroème
Soient A et B deux points du plan.
Le cercle de diamètre [AB] est l’ensemble des points M tels que 
Démonstration
Un point M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si 
M = A ou M = B ou le triangle AMB est rectangle en M.
Or le triangle AMB est rectangle en M si c’est-à-dire si 
.
De plus M = A s’écrit 
et M = B s’écrit 
. On a donc 
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