Applications du barycentre

 Nous verrons quelques unes de ces applications et en particulier le centre d’inertie d’un système.

La notion de centre d’inertie d’un système fut dégagée par Christiaan Huygens
( La Haye 1629 – La Haye 1695 ) dans ses travaux sur l’étude des problèmes de chocs. 

Barycentre : applications
 
 C’est vers 1654 qu’il énonce le principe de mécanique :

« Le barycentre d’un système matériel se meut comme si toute la masse du système y était transportée, les forces extérieures du système agissant toutes sur ce barycentre. »
 
 

Alors, il existe un unique point G tel que 

Ce point G est appelé barycentre des points pondérés ( A , a ) et ( B ,b ). 
 
On dit aussi que G est le barycentre des points A et B affectés des coefficients a et b.

 
Remarques

1) Si a + b = 0, on ne peut pas définir le barycentre

 de (A , a) et (B , b).

2) De même, si a + b + c = 0, on ne peut pas

définir le barycentre de (A , a) , (B , b) et (C , c).
 
 Nous allons voir maintenant comment utiliser le
barycentre pour montrer que :
 
- des points sont alignés
- des droites sont parallèles,
- des droites sont concourantes.

Soient K le milieu de [AC] et I et J les points tels que

  et 

Montrons que les droites (AJ), (BK) et (CI) sont concourantes.

Soit G le barycentre de (A , 2), (B , 1) et (C , 2). 

Comme  , on en déduit

d’où  c’est-à-dire

Le point I est donc le barycentre de (A , 2) et (B , 1). Puisque G est le barycentre de (A , 2) , (B , 1) et (C , 2) et I est le barycentre de (A , 2) et (B,1), par associativité du barycentre, on en déduit que G est le barycentre de (I, 3) et (C , 2). Les points C, I et G sont donc alignés. De même, comme K est le milieu de [AC], K est le barycentre de (A , 1) et (C , 1), mais aussi le barycentre de (A , 2) et (C , 2) (par homogénéité du barycentre). Puisque G est le barycentre de (A , 2), (B , 1) et (C , 2), on en déduit que G est le barycentre de (K , 4) et
(B , 1). Les points B, K et G sont donc alignés.
Le point G appartient donc aux deux droites (CI) et (BK).

Montrons enfin que le point G appartient aussi à la droite (AJ).

On a 

d’où 

On en déduit

c’est-à-dire

Le point J est donc le barycentre de (B , 1) et (C , 2).
Comme G est le barycentre de (A , 2), (B , 1) et (C , 2), on en déduit que G est le barycentre de (A , 2) et (J,3).

Les points A, J et G sont donc alignés.

Le point G appartient donc aux trois droites (AJ), (BK) et (CI), ce qui prouve que ces trois droites sont concourantes.

 
La notion de moyenne avec ou sans coefficients peut être interprétée en termes de barycentre.

Patrick a eu 11 à son premier devoir de maths et
15 au suivant.

Plaçons sur un axe (O , ) le point A d’abscisse 11 et le point B d’abscisse 15.

Quelle est la moyenne de Patrick en maths ?

Soit m la moyenne de Patrick
On a
 

 Soit M le point d’abscisse m=13.
Que représente le point M pour A et B ?
Le point M est le milieu de [AB], c’est-à-dire le barycentre de (A,1) et (B,1).

Supposons maintenant que les notes soient affectées de coefficients, par exemple, la note du premier devoir affectée du coefficient 1 et la note du deuxième affectée du coefficient 3.
Soit m’ la moyenne de Patrick (avec les coefficients)
On a
 

Soit M’ le point d’abscisse 14.
Le point M’ est le barycentre des points (A,1) et (B,3).
En effet , on a
 
 ou encore 

Soit P une plaque homogène.

Le centre d’inertie I de la plaque est l’isobarycentre de tous les points de la plaque.

C’est donc un barycentre d’une infinité de points !

Il s’agit d’une notion difficile à définir mathématiquement mais il est souvent facile de déterminer le centre d’inertie d’une plaque en utilisant les propriétés suivantes.

• Le centre d’inertie d’une tige est le milieu de cette tige.

• Le centre d’inertie d’un triangle est l’isobarycentre de

 ses trois sommets.

Attention, cette propriété n’est pas vraie en général pour les quadrilatères.

Le centre d’inertie d’un quadrilatère ABCD est en général différent de l’isobarycentre des sommets
A, B, C et D.

• Si la plaque admet un centre de symétrie, alors son centre d’inertie est le centre de symétrie.

• Si la plaque admet un axe de symétrie, alors son centre d’inertie se trouve sur cet axe.

Dans la plaque P on découpe une plaque Q de centre d’inertie  et de masse  .

Il reste une plaque R de centre d’inertie  et de masse .