Angles orientés

Dans tout ce chapitre le plan est rapporté à un
repère orthonormé (O, , ).

 
 
Définition
 
 Le cercle trigonométrique C est le cercle de centre O, de rayon 1, orienté dans le sens direct (appelé sens positif ou sens trigonométrique) qui est le sens contraire de la rotation des aiguilles d’une montre.
 

 
Le sens de rotation des aiguilles d’une montre est appelé sens indirect ou sens négatif.

 
Repérage sur le cercle
 
 Pour tout nombre réel t, on appelle image sur le cercle C, le point M obtenu en se déplaçant
d’une longueur | t | sur C à partir de   :
- dans le sens direct si t est positif,
- dans le sens indirect si t est négatif.

 

 
 
Propriété
 
 
Tout point du cercle trigonométrique est l’image d’une infinité de nombres réels.
Si t est l’un d’entre eux, les autres nombres réels sont de la forme  où  

 Associer un point du cercle à un nombre réel, c’est-à-dire à un point de la droite, revient à enrouler la droite sur le cercle.
Si t et t’ sont deux nombres réels qui ont la même image sur le cercle, alors l’enroulement de la droite sur le cercle de t à t’ correspond à un nombre entier k de tours du cercle.
Le périmètre du cercle étant  , k tours du cercle correspondent  à  et avec k positif si pour aller de t à t’ on a enroulé la droite dans le sens positif et k négatif si on a enroulé la droite dans le sens négatif.


 
Exemple

Le point K est l’image de  mais aussi de de

 
          
 

Angles orientés et mesures

Soient  et  deux vecteurs non nuls M et N les points tels que
 
  et
M’ et N’ les points d’intersection des demi-droites [OM) et [ON) avec le cercle trigonométrique C.

 ) est l’angle de la rotation r de centre O qui transforme M’ en N’.
 Soit  l’image du point  par cette rotation. Les mesures de l’angle orienté (

 est l’image sur C.
On admet que cette définition est indépendante du repère choisi.


 

Remarque

désigne aussi bien l’angle orienté des deux vecteurs 

 que l’une de ses mesures.

Attention

A ne pas confondre un angle géométrique et un angle orienté.

Angles géométriques :





Angles orientés :

Mesure principale d’un angle orienté

Définition

Parmi toutes les mesures d’un angle orienté  , une seule appartient à l’intervalle  . On l’appelle la mesure principale de l’angle orienté

.

Soit  la mesure principale de l’angle

.

sont les nombres réels  où 

On note
   
 
ou 

On a  (en radians)

où  désigne l’angle géométrique de sommet O.  

 avec  



Propriétés des angles orientés

Soient  et  deux vecteurs non nuls

 
       

►

– Si  et  sont deux nombres réels

– Si  et  sont de même signe :

 

Si  et  sont de signes contraires

Vecteurs colinéaires et angles orientés

Soient  et  deux vecteurs non nuls

  et  sont colinéaires et de même sens si et seulement si 

  et  sont colinéaires et de sens contraire si et seulement si  

  et  sont colinéaires si et seulement si

c’est-à-dire  avec  

 et  colinéaires et de même sens. 

  et  colinéaires et de sens contraires.