Les suites arithmétiques et géométriques, ainsi que l’ensemble de leurs propriétés sont également revues dans le détail, avec un certain nombre de conseils pour éviter les erreurs classiques.

Remarque : seuls les cas de convergence d’une suite définie par une fonction, d’une suite géométrique et d’une suite définie par récurrence sont vus dans ce module.

Dans la partie exercices, l’ensemble des questions posées a pour objectif de faire le tour de toutes les techniques utilisables et conseillées dans le domaine des suites.

Ce grand principe expliqué et illustré dans le cas général est ensuite appliqué aux suites.

On apprend alors à l’utiliser et à le rédiger pour démontrer les propriétés d’une suite, propriétés qui ont pu être conjecturées d’après l’étude des premiers termes.

Des exemples d’application sont donnés : démonstration de l’expression du terme général d’une suite, démonstration qu’une suite est bornée.

On élargit ensuite son application à toute formule ou propriétés dépendant d’un entier naturel n.

Dans la partie exercices, qui comporte plusieurs sujets de BAC, l’accent est mis sur l’aspect délicat dans l’application du raisonnement par récurrence, à savoir, montrer l’hérédité.

Une grande variété de situations est proposée et une grande panoplie d’outils est utilisée, afin de fournir à l’élève un maximum de références.

Le travail de la rédaction est également au centre des exercices.

Sont ensuite exposés les outils qui permettent de montrer la convergence d’une suite que sont les théorèmes de convergence monotone et le théorème des gendarmes.

Le même travail est fait pour une limite infinie, la définition étant suivie des théorèmes de divergence monotone et des théorèmes de comparaison.

Le cours se termine par la révision et la démonstration des résultats de convergence précédemment admis dans le premier module sur les suites, à savoir : les cas de convergence d’une suite définie par une fonction, d’une suite géométrique et d’une suite définie par récurrence.

La partie exercices, couplant ces nouveaux résultats aux connaissances acquises sur le raisonnement par récurrence, mélange petits exercices techniques et grands problèmes tirés du BAC.

Sans oublier quelques R.O.C permettant de savoir si l’élève maîtrise également l’aspect théorique de la notion de limite

A la définition de cette notion succède le théorème de convergence de telles suites.

La démonstration de ce théorème pouvant faire l’objet d’un R.O.C, elle est abordée sous la forme d’un exercice comportant plusieurs étapes.

La partie exercices aborde l’ensemble des grands classiques du BAC, dans un souci de varier les situations, les techniques à mettre en œuvre et les difficultés

•  Fonctions : limites
  

La partie cours revient sur les définitions de limites finies ou infinies en un point ou en l’infini. Propriétés algébriques et règles calculatoires sont rappelées et les nouveaux outils que sont les théorèmes de comparaison sont introduits.

D’un point de vue graphique, les notions d’asymptote et de positions relatives sont revues dans un cadre plus général, à la fois théorique et pratique.

Dans la partie exercice, l’accent est mis sur la rédaction des cas même les plus simples et sur la révision de toutes les techniques allant de la composition de limites au changement de variable.

Tous les types de fonctions sont étudiés : de la simple fonction polynôme à la fonction trigonométrique, en passant par le cas délicat des fonctions comportant des racines.

Des astuces sont également données pour apprendre à gérer le problème des limites infinies à droite et à gauche en un point.

L’objectif final étant de maîtriser tous les outils permettant de lever une indéterminée.

•  Fonctions : continuité

En repartant de la définition et de l’illustration graphique d’une limite finie en un point, cette nouvelle notion est abordée tant d’un point de vue graphique que théorique.

Couplée à l’apparition de nouvelles fonctions, définies « par morceaux », la continuité va nous obliger à nous familiariser avec l’étude des limites à gauche et à droite en un point.

La continuité sur un intervalle est ensuite définie et avec elle sont exposées les fonctions de référence et les règles qui permettent de les utiliser.

La partie cours se termine avec le cas des fonctions composées.

La notion de continuité étant délicate à rédiger et à manipuler, la partie exercice se veut très progressive.

Chaque fois que cela est possible les problèmes sont résolus par des arguments graphiques et par des arguments théoriques.

On y découvre en particulier une nouvelle fonction : la fonction Partie Entière et on y apprend à prolonger une fonction par continuité.

Les calculs de limites en un point étant évidemment au cœur de la plupart de ces exercices, de nombreux cas de formes indéterminées sont rencontrés.

La classe de terminale s’attardant plus longuement sur le problème de la dérivabilité d’une fonction en un point, les différents cas possibles sont étudiés et à cette étude est couplée celle de la tangente en un point, aspect graphique de la question.

Le lien entre continuité et dérivabilité en un point est également étudié.

Les fonctions de référence sont introduites ainsi que les règles qui permettent de les utiliser.

Les formules de dérivation et propriétés algébriques sont révisées.

Le lien entre variations d’une fonction et signe de la dérivée est rappelé et une mise au pont claire est faite sur la différence entre une fonction monotone et une fonction strictement monotone.

Dans la partie exercice, plusieurs grands objectifs sont visés.

Devenir expert en matière de calcul de fonctions dérivées, l’accent étant mis sur la dérivation des fonctions composées.

Savoir traiter avec rigueur le problème de la dérivabilité d’une fonction en un point ou sur un intervalle.

Savoir utiliser les résultats liés à la dérivation que ce soit dans une étude de fonction ou dans le tracé et la recherche de tangentes.

Une mise au point est tout d’abord faite sur la notion d’intervalle et vient ensuite un des grands théorèmes de l’analyse : le théorème des valeurs intermédiaires, suivi de son corollaire.

On étudie les conséquences de ce théorème sur l’image d’un intervalle par une fonction continue, puis on définit la notion de bijection.

S’appuyant sur cette notion, une autre version du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires est donnée, appelée : théorème de la bijection.

la rédaction, qu’il faut savoir adapter à la question posée et la technique de recherche et d’encadrement des solutions, qu’il faut savoir maîtriser de façon rapide et efficace.

On commence par définir cette notion puis par montrer qu’une fonction admet une infinité de primitives différant seulement d’une constante.

On apprend alors à rédiger la recherche de la seule primitive vérifiant une condition initiale donnée.

La continuité d’une fonction sur un intervalle étant une condition suffisante à l’existence d’une primitive sur cet intervalle, un rappel est fait sur l’ensemble des théorèmes liés à la notion de continuité.

Les propriétés algébriques des primitives sont démontrées et énoncées dans l’optique de leur utilisation lors des futurs calculs.

Enfin, une technique de calcul des primitives, utilisant ces propriétés, est exposée sur plusieurs exemples.

Cette technique s’appuie exclusivement sur les formules de dérivation et ne nécessite l’apprentissage d’aucune nouvelle formule.

La partie exercice commence par un exercice de révision des dérivées de fonctions composées dans lequel il faut vérifier qu’une fonction donnée est la primitive d’une autre fonction. Cet exercice en plus de son aspect calculatoire, oblige à rédiger la dérivabilité de la fonction sur l’intervalle donné.

Les deux exercices suivants, de difficulté progressive, sont l’occasion de mettre en pratique la technique développée dans la partie cours. Il s’agit de montrer qu’une fonction admet une primitive sur un intervalle donné puis de la calculer.

Les deux derniers exercices sont des petits problèmes dans lesquels on arrive à trouver la primitive d’une fonction vérifiant une condition initiale, grâce à un travail sur l’écriture de la fonction.

Sa continuité, sa dérivabilité, son signe sont étudiés et un premier bilan pratique, permettant de manipuler la fonction est établi.

On s’intéresse ensuite aux propriétés algébriques de la fonction exponentielle.

Après avoir démontré que la fonction exponentielle réalise une bijection, sa fonction réciproque, la fonction logarithme népérien est introduite.

Cette fonction n’est pas étudiée ici et seul le fait que, grâce à elle, tout nombre strictement positif possède une écriture exponentielle est à retenir.

Ceci afin de pouvoir résoudre équations et inéquations.

La partie cours se termine par l’introduction du nombre e qui nous permet dès lors d’adopter une notation puissance pour la fonction exponentielle.

Les propriétés algébriques sont alors revues sous ce nouveau jour, permettant de réaliser qu’elles ne sont rien d’autre que les propriétés d’une puissance.

La partie exercice commence par un R.O.C dans lequel on démontre l’ensemble des propriétés algébriques de l’exponentielle.

L’exercice suivant est un exercice de simplification d’écriture permettant de se familiariser avec l’exponentielle.

Le troisième exercice consiste à étudier les symétries de courbes représentant des fonctions formées avec l’exponentielle.

Et dans les derniers exercices, dont la difficulté est très progressive, il s’agit de résoudre un grand nombre d’équations et d’inéquations.

Nous voyons ses limites aux bornes, dressons sont tableau complet de variations et traçons sa courbe. Nous intéressant au passage à son asymptote et à deux de ses tangentes.

Une étude de l’exponentielle est ensuite menée au voisinage de 0, ce qui nous fournit un nouveau résultat de limite et une approximation affine.

Nous comparons ensuite les croissances de la fonction exponentielle et de la fonction qui à x associe x. Ceci donnant deux résultats de référence concernant les limites.

Le cours se termine par l’étude de la dérivation des fonctions composées de type exp(u).

La partie exercice commence par un exercice concernant dérivation et dérivabilité de fonctions comportant l’exponentielle.

Le deuxième exercice est un florilège de questions de BAC concernant limites et exponentielles.

Les trois derniers exercices sont tirés du BAC. Ils associent entre autre à la nouvelle fonction qu’est l’exponentielle, des problèmes d’étude d’une fonction grâce à une fonction auxiliaire, de recherche de tangentes, de recherche de solutions grâce au théorème des valeurs intermédiaires et d’étude de positions relatives.

Après une brève explication de ce nouveau concept, nous nous lançons dans l’étude des solutions des équations de type : y’=ay.

Le cas plus général des équations de type : y’=ay+b est ensuite considéré.

L’étude et la démonstration des solutions pour ce type d’équations servant de rédaction référence pour les exercices à venir.

Le cours se termine par la recherche d’une solution particulière pour une équation, une condition initiale étant fixée.

Le premier exercice constitue un exercice de référence dans lequel on applique sur un cas simple les techniques et raisonnements à connaître.

Les quatre exercices suivants sont tirés du BAC.

Le premier commence par un R.O.C dans lequel on redémontre le début du cours. Il s’agit ensuite de trouver les solutions d’une équation dont le deuxième membre contient un cosinus.

Le troisième exercice est une illustration de l’utilité des équations différentielles dans le domaine de la physique. Problème de vitesse et de position dans lequel apparaît en prime une recherche de primitive.

Le quatrième exercice est une étude de familles de courbes menant à la reconnaissance que quelques courbes, grâce aux résultats accumulés.

Le dernier exercice, enfin, est une classique étude de l’évolution d’une population.

Après un bref rappel sur la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien est donc définie. A partir de cette définition, des propriétés sont étudiées, des remarques sont faites et des cas particuliers sont examinés afin de familiariser l’élève avec cette nouvelle fonction. Manipuler une fonction réciproque n’étant pas forcément quelque chose de très intuitif, il est important dans un premier temps de bien comprendre le lien entre exponentielle et logarithme népérien.

Vient ensuite un bilan pratique de tout ce qui a été constaté. L’accent étant mis sur la possibilité d’écrire maintenant certains réels sous deux formes : la forme exponentielle et la forme logarithmique. Ceci servant à résoudre équations et inéquations.

Les propriétés algébriques du logarithme népérien sont ensuite déduites de celles de l’exponentielle.

Il est prouvé que le logarithme népérien est une bijection et qu’il est strictement croissant, ce qui nous permet de mettre au point des techniques de résolution des équations et inéquations contenant un logarithme.

Il est alors temps de montrer l’équivalence avec l’autre façon d’introduire la notion de logarithme népérien, à savoir en tant qu’unique primitive de la fonction inverse s’annulant en 1.

Le cours se termine enfin par l’étude générale des fonctions logarithmes, appelées aussi fonctions logarithmes de base a.

Le logarithme de base 10, noté Log, très utile en chimie est vue plus en détail et une application pratique en est donnée.

La partie exercice commence par un R.O.C fondamental dans lequel le cours est redémontré en partant cette fois de la définition du logarithme en tant que primitive.

Les deux exercices suivant sont des exercices de manipulation des propriétés algébriques du logarithme et de l’exponentielle dans lesquels on joue sur les différentes écritures possibles d’un réel.

Enfin, deux exercices de résolution d’équations et d’inéquations viennent conclure la partie exercice. Les cas étudiés sont nombreux, variés et d’une difficulté très progressive.

Nous voyons ses limites aux bornes, dressons sont tableau complet de variations et étudions son signe.

Nous traçons alors sa courbe, nous intéressant au passage à son asymptote et à deux de ses tangentes. Un constat est alors fait sur la symétrie des courbes des fonctions exponentielle et logarithme népérien, fonctions réciproques.

Par l’étude du nombre dérivé en 1, nous obtenons un nouveau résultat de limite et une approximation affine de la fonction x donne ln(1+x) au voisinage de 0.

Nous comparons ensuite les croissances de la fonction logarithme népérien et de la fonction qui à x associe x. Ceci donnant deux résultats de référence concernant les limites.

Le cours se termine par l’étude de la dérivation des fonctions composées de type ln(u).

La partie exercice commence par un exercice concernant dérivation et dérivabilité de fonctions comportant la fonction ln.

Le deuxième exercice est un florilège de questions de BAC concernant limites et logarithme.

Les trois derniers exercices sont tirés du BAC.

Le premier s’appuie sur l’étude d’une fonction auxiliaire grâce au théorème des valeurs intermédiaires. Le deuxième marie suites définies par récurrence et fonction logarithme. Et le dernier, enfin, mélange étude de la position relative d’une courbe par rapport à une de ses tangentes et encadrement d’une aire.

Ces trois grands classiques sont à la fois riches et variés.

Ces résultats généralisent les résultats déjà vus pour la fonction identité, qui à x associe x.

Nous généralisons ensuite la notion de puissance, connus depuis toujours pour les exposants entiers, à tout exposant réel. Passant alors en revue les propriétés algébriques d’une puissance, également valables pour ce nouveau type d’exposant.

S’appuyant sur cette définition, les fonctions puissances et les fonctions exponentielles de base a sont alors définies.

Une étude de la fonction exponentielle de base a est alors réalisée, ses limites, variations et sa représentation étant étudiées, en fonction de a.

La notion de fonction racine n-ième est ensuite introduite et le lien est fait avec les fonctions puissances ayant pour exposant 1 sur n.

L’étude générale de ce nouveau type de fonction clôture la partie cours.

La partie exercice commence par quelques manipulations algébriques de ces nouvelles fonctions et de ces nouvelles écritures, à base d’exposants réels.

Viennent ensuite des résolutions d’équations et d’inéquations, faisant intervenir exponentielles de base a et fonctions racines n-ièmes.

Le troisième exercice mélange études de dérivabilité, calculs de dérivées et calculs de limites sur des fonctions fabriquées à partir des nouvelles fonctions vues dans ce module.

Le quatrième exercice est un énorme R.O.C dans lequel la plupart des résultats admis dans le cours sur la racine n-ième sont démontrés.

Le dernier exercice, enfin, est tiré du BAC et s’intéresse à la résolution d’une équation puissance. Un exercice original et très constructif.

On revoit dans un premier temps la définition de la notion de primitive, le lien entre deux primitives d’une même fonction et l’unicité de la primitive vérifiant une condition initiale.

Ce premier rappel se terminant par un point sur la rédaction à adopter dans la recherche d’une primitive.

Les conditions d’existence d’une primitive sur un intervalle et les propriétés algébriques, utiles aux calculs, sont énoncées.

Vient ensuite une série d’exemples pratiques expliquant la stratégie à adopter afin de passer maître dans l’art de calculer des primitives, sans apprendre la moindre nouvelle formule !

Cette stratégie repose sur la maîtrise des formules de dérivations et sur les 3 propriétés algébriques énoncées plus haut.

Une série d’exemples est en particulier consacrée à la recherche de primitives d’une fonction exprimée sous la forme d’un rapport.

C’est pour cette raison qu’il est obligatoire d’avoir d’abord vu le module sur les fonctions logarithmes.

La partie cours se termine par la recherche de primitives de fonctions faisant intervenir l’exponentielle.

La partie exercice débute par un exercice de recherche de primitives de fonctions exprimées sous la forme d’un rapport.

Vient ensuite un petit problème mêlant factorisation d’un polynôme et recherche d’inconnues pour adapter l’écriture d’une fonction à la recherche de primitives.

Le troisième exercice commence par la recherche de la primitive d’une fonction étant un rapport d’exponentielles et se termine par l’étude d’une des primitives, étude faisant notamment appel au théorème des valeurs intermédiaires.

Le quatrième exercice est une série de calculs de primitives, variés, originaux et à la difficulté croissante.

La partie exercice se termine enfin par un petit problème assez atypique où il faut déduire des primitives soit de relations entre dérivées soit d’un changement de variable.

Le cours commence par une mise au point sur la notion d’unité d’aire.

Une illustration graphique du recouvrement de la surface située sous une courbe par des rectangles de faible épaisseur est ensuite donnée afin d’aider à appréhender cette nouvelle notion.

On définit alors l’intégrale d’une fonction, continue, positive sur l’intervalle [ a ; b ] comme étant, en unités d’aire, l’aire de la partie du plan située entre la courbe de f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b.

Cette définition est ensuite étendue aux fonctions continues négatives puis à tout type de fonction continue. Des exemples sont fournis.

Vient alors le lien entre intégrale et primitive qui va permettre le calcul des intégrales : le théorème affirmant que la primitive de f s’annulant en a est l’intégrale de a à x de f(t)dt est énoncé mais non démontré.

On en déduit alors la méthode de calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive quelconque.

Pour finir, les propriétés algébriques de l’intégrale sont données.

Il s’agit des propriétés de linéarité et de la relation de Chasles.

Dans le premier exercice, les valeurs de trois intégrales sont à trouver graphiquement puis à vérifier par le calcul.

Le deuxième exercice mélange calculs et démonstrations de résultats du cours.
Il s’intéresse en particulier à l’influence de la parité d’une fonction sur le calcul de ses intégrales.

Le troisième exercice est un exercice de calcul d’intégrales.

Découpé en deux parties comprenant d’une part des exponentielles et d’autre part des logarithmes, il commence dans le premier cas par la recherche de coefficients afin de déterminer une primitive de la fonction à intégrer.

Dans le deuxième cas, il s’agit de résoudre un système afin de trouver une écriture de la fonction plus adaptée à la recherche d’une primitive.

Le quatrième exercice jongle entre calcul d’intégrales et interprétation géométrique d’intégrales autour des courbes des fonctions exponentielle et logarithme.

Le dernier exercice, enfin, est tiré du BAC et tourne autour de l’étude d’une fonction définie par une intégrale.

Définition géométrique de l’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle, propriétés algébriques de l’intégrale et méthode de calcul à l’aide d’une primitive sont revues.

Viennent ensuite les théorèmes concernant ordre et intégration.

En partant de la positivité de l’intégrale d’une fonction positive, on déduit d’autres propriétés sur l’ordre, dont la propriété d’inégalité de la moyenne.

Le cours se termine par l ‘exposition de la méthode d’intégration par parties, permettant de calculer l’intégrale d’une fonction produit.

Cette méthode est à la fois démontrée et illustrée par un exemple pratique.

L’accent étant mis sur la rédaction et sur les erreurs de calcul à éviter.

La partie exercice est constituée de cinq exercices tirés du BAC.

Dans le premier, on s’intéresse au calcul d’intégrales contenant des logarithmes.

On y rencontre une astuce classique souvent utilisée lors de l’utilisation de la formule d’intégration par parties. Il est à noter que l’exercice se termine par la résolution d’une question ouverte.

Le deuxième exercice joue sur diverses manipulations de l’intégration par parties afin de trouver le lien entre deux intégrales contenant des fonctions trigonométriques. On en déduira alors leurs valeurs respectives. A noter que cet exercice commence par un R.O.C, consistant en la démonstration de la formule d’intégration par parties.

Le troisième exercice a pour but l’encadrement d’une intégrale.

Il commence par l’étude d’une fonction définie par une intégrale puis s’intéresse à la recherche de l’encadrement d’une des images. Cette recherche s’appuyant sur l’utilisation de intégration par parties et sur les théorèmes liés à l’ordre.

Le quatrième exercice mélange étude d’une fonction définie par une intégrale et recherche d’une primitive à l’aide d’une intégration par parties. Les limites de la fonction seront trouvées grâce à des encadrements d’intégrales.

Le cinquième exercice s’intéresse à une suite définie par une intégrale.

On y étudie, entre autre,la convergence, la monotonie, la limite de la suite et on recherche une relation algébrique liant deux de ses termes consécutifs.

Vient ensuite la définition de la valeur moyenne d’une fonction continue sur un intervalle.

Une illustration géométrique en est donnée afin de donner du sens à cette valeur.

On s’intéresse ensuite à la façon de calculer l’aire de la partie comprise entre les courbes de deux fonctions continues sur un intervalle.

La fin du cours détaille de façon pratique et imagée la technique permettant de calculer le volume d’un solide de révolution, solide engendré par la rotation d’une courbe autour d’un axe.

Au delà de la formule trouvée, c’est ici la méthode qui est privilégiée.

La partie exercice débute par le calcul de plusieurs valeurs moyennes,

à l’aide, entre autre, de la méthode d’intégration par parties.

Dans le deuxième exercice, on calcule les volumes de différents solides.

On redémontre au passage la formule permettant de calculer le volume d’un cône.

Le troisième exercice est tiré du BAC.

La première partie consiste en une étude de fonction et en la recherche d’une valeur approchée de l’abscisse du point d’intersection de deux courbes.

Dans la deuxième partie, on engendre à partir de la courbe de la fonction étudiée, un solide dont il s’agit de calculer le volume. Il est à noter que se calcul nécessite d’utiliser deux intégrations par parties successives.

Le quatrième exercice, tiré du BAC, mélange résolution d’équation différentielle, résolution d’équation comportant une exponentielle et calcul du volume d’un solide engendré par la rotation d’une courbe autour de l’axe (Oy).

Le dernier exercice, toujours tiré du BAC est en deux parties.

Dans la première partie, on étudie de façon détaillée une fonction, étude menant au tracé de sa courbe et à la résolution d’une équation utilisant le théorème des valeurs intermédiaires.

Dans la deuxième partie, il s’agit de résoudre une équation différentielle en se ramenant à une équation différentielle de référence.