Cours maths 5ème

Aire et volume d'un solide :

Ce chapitre va tout d'abord montrer comment calculer l’aire latérale ou totale de solides simples (cube, pavé droit) ou plus complexes : autres prismes ou cylindre. La notion de volume de ces solides sera ensuite abordée à la fin.

 

Aire totale du cube

Le cube d’arête « c »

a pour développement :

Son aire totale est donc la somme des aires des 6 carrés formant ses faces, soit :

Aire = 6 x aire d’une face = 6 x c²

 

Volume du cube

Le cube d’arête « c »

a pour volume :

Volume = arête x arête x arête = c3

Exemple :

Un cube a ses arêtes qui mesurent 4 cm. Il a pour volume :

V = 43 = 4 x 4 x 4 = 64 cm3

 

Aire du pavé droit

Voici un pavé droit :

    • il a pour longueur : L
    • il a pour largeur : l
    • il a pour hauteur : h

il a pour développement :

L’aire de chaque base est :

B = l x L = lL

Les 4 autres rectangles représentent la surface latérale du pavé droit.
L’aire latérale de ce pavé droit est donc :

    • A = 2xlxh + 2xLxh
    • A = h (2 l + 2 L)

Avec (2 l + 2 L) qui représente le périmètre de la base du pavé droit.

Dans un pavé droit, l’aire latérale est égale à :

    • Périmètre de base x hauteur

L’aire totale de ce pavé droit est égale à :

    • Aire latérale + 2 x aire d’une base

 

Aire du pavé droit

Voici un pavé droit :

il a pour développement :

L’aire de chaque base est :

    • B = 10 x 6 = 60 cm²

Périmètre de base :

    • P = 2x10 + 2x6 = 32 cm

Aire latérale :

    • A = 5 x 32 = 160 cm²

L’aire totale est donc égale à :

160 + 2 x 60 = 160 + 120 = 280 cm²

 

Volume du pavé droit

Voici un pavé droit :

     il a pour longueur : L
     il a pour largeur : l
     il a pour hauteur : h

Son volume est égal au produit de ses 3 dimensions :

Volume = Longueur x largeur x hauteur

 

Volume du pavé droit

Voici un pavé droit :

il a pour volume :

     V = Longueur x largeur x hauteur
     V = 10 x 6 x 5
     V = 300 cm

 

Prismes droits

     On admettra que pour un prisme droit :

Aire latérale = Périmètre de base x hauteur
     Aire totale = Aire latérale + 2x Aire d’une base
     Volume = Aire de base x hauteur

 

Aire et volume d'un prisme

Voici un prisme droit dont la base est un triangle rectangle.

L’aire de sa base est :
- B = QR x RS / 2
= 3 x 4 / 2
= 6 cm²

Le périmètre de la base est :
- P = 3 + 4 + 5
= 12 cm

L’aire latérale est :
- A = 12 x 15
= 180 cm²

L’aire totale est :
- T = 180 + 2 x 6 T
= 192 cm²

Le volume est :
- V = B x hauteur
= 6 x 15
= 90 cm3

 

Volume du cylindre de révolution

Voici un cylindre de révolution :

il a pour rayon de base : r
il a pour hauteur : h

On admet que son volume est égal au produit de l’aire de sa base par sa hauteur :

Volume = π r² h

Son développement est composé d'un rectangle...

...et de deux disques.

Le cylindre de révolution a pour rayon r et hauteur h.

Il a pour développement la figure ci-dessous :

Le rectangle a pour dimensions :

1/ la hauteur h du cylindre,

2/ le périmètre du disque de base : 2πr

Le rectangle a pour aire : 2πrh

Les deux disques ont chacun pour aire :
π r²

L’aire totale est donc : 2πrh + 2πr²

Le cylindre de révolution a pour rayon r et hauteur h.

Aire de base :
π r²
Aire latérale cylindrique :
2πrh

 

Cylindre de révolution

Le cylindre de révolution ci-contre a :

Pour rayon de base : 10 unités graphiques
Pour hauteur : 15 unités graphiques


Aire de base
= π r²
= 3,14 x 10 x 10
= 314 unités d’aire
Aire latérale
= 2π r h
= 2 x 3,14 x 10 x 15
= 942 unités d’aire
Volume
= π r² h
= 3,14 x 10 x 10 x 15
= 4 710 unités de volume