Aire et volume d'un solide

Cours maths 5ème

Aire et volume d'un solide :

Ce chapitre va tout d'abord montrer comment calculer l’aire latérale ou totale de solides simples (cube, pavé droit) ou plus complexes : autres prismes ou cylindre. La notion de volume de ces solides sera ensuite abordée à la fin.
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Aire totale du cube




Le cube d’arête « c »  


a pour développement : 


Son aire totale est donc la somme des aires des 6 carrés formant ses faces, soit :

Aire = 6 x aire d’une face = 6 x c²



Volume du cube



Le cube d’arête « c » 


a pour volume :
Volume = arête x arête x arête = c3


Exemple :

Un cube a ses arêtes qui mesurent 4 cm. Il a pour volume :

V = 43
= 4 x 4 x 4
= 64 cm3






Aire du pavé droit




Voici un pavé droit :  



  • il a pour longueur  : L
  • il a pour largeur  : l
  • il a pour hauteur  : h


il a pour développement :


L’aire de chaque base est :


B = l x L = lL

Les 4 autres rectangles représentent la surface latérale du pavé droit.
L’aire latérale de ce pavé droit est donc :

  • A = 2xlxh + 2xLxh
  • A = h (2 l + 2 L)

Avec (2 l + 2 L) qui représente le périmètre de la base du pavé droit.

Dans un pavé droit, l’aire latérale est égale à :

  • Périmètre de base x hauteur

L’aire totale de ce pavé droit est égale à :

  • Aire latérale + 2 x aire d’une base


Aire du pavé droit



Voici un pavé droit : 



il a pour développement :
 



L’aire de chaque base est :

  • B = 10 x 6 = 60 cm²

Périmètre de base :

  • P = 2x10 + 2x6 = 32 cm

Aire latérale  :

  • A = 5 x 32 = 160 cm²

L’aire totale est donc égale à :


160 + 2 x 60  
= 160 + 120
= 280 cm²






Volume du pavé droit



 

Voici un pavé droit :  


  • il a pour longueur  : L
  • il a pour largeur  : l
  • il a pour hauteur  : h

Son volume est égal au produit de ses 3 dimensions
:

Volume = Longueur x largeur x hauteur



Volume du pavé droit



Voici un pavé droit :


il a pour volume :


  • V = Longueur x largeur x hauteur
  • V = 10 x 6 x 5
  • V = 300 cm


Prismes droits



  On admettra que pour un prisme droit :

  • Aire latérale = Périmètre de base x hauteur
  • Aire totale = Aire latérale + 2x Aire d’une base
  • Volume = Aire de base x hauteur



Aire et volume d'un prisme



Voici un prisme droit dont la base est un triangle rectangle.


   L’aire de sa base est :

   - B = QR x RS  / 2
     = 3 x 4  / 2
     = 6 cm²


    Le périmètre de la base est :

   - P = 3 + 4 + 5
     = 12 cm


   L’aire latérale est :
   - A = 12 x 15
     = 180 cm²


   L’aire totale  est :
   - T = 180 + 2 x 6 T
     = 192 cm²


   Le volume est :
   - V = B x hauteur
     = 6 x 15
     = 90 cm3




Volume du cylindre de révolution



Voici un cylindre de révolution :







     il a pour rayon de base  : r
     il a pour hauteur  : h








On admet que son volume est égal au produit de l’aire de sa base par sa hauteur
:

Volume = π r² h


Son développement est composé d'un rectangle...



...et de deux disques.


Le cylindre de révolution a pour rayon r et hauteur h.

Il a pour développement la figure ci-dessous :




 
 

Le rectangle a pour dimensions :

1/ la hauteur h du cylindre,

2/ le périmètre du disque de base : 2πr

Le rectangle a pour aire : 2πrh



 

Les deux disques ont chacun pour aire :
π r²

L’aire totale est donc : 2πrh + 2πr²


Le cylindre de révolution a pour rayon r et hauteur h.




Aire de base :
π r²
Aire latérale cylindrique :
2πrh









Cylindre de révolution



Le cylindre de révolution ci-contre a :


Pour rayon de base  : 10 unités graphiques
Pour hauteur  : 15 unités graphiques

Aire de base
= π r²
= 3,14 x 10 x 10
= 314 unités d’aire

Aire latérale
= 2π r h
= 2 x 3,14 x 10 x 15
= 942 unités d’aire

Volume
= π r² h
= 3,14 x 10 x 10 x 15
= 4 710 unités de volume

 
 
 

         Cours complémentaires :

► Aire d'une surface plane
► Conversions d'unités
► Sommaire cours maths 5ème

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