Agrandissement et réduction

Cours maths 3ème

Agrandissement et réduction :

L'objectif est ici de travailler sur les agrandissements et les réductions ainsi que leurs effets sur les longueurs, les aires de figures et les volumes de solides.
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Agrandissement et réduction : définition



Définition :

Multiplier toutes les dimensions d’une figure ou d’un solide (longueurs des côtés, des arêtes, rayons) par un nombre k, c’est en faire :

  • - Un agrandissement si k > 1
  • - Une réduction si k < 1

Les mesures des angles de la figure sont inchangés.

Exemple d'agrandissement ou de réduction

On considère le plan d’un appartement réalisé à l’échelle 1/ 200 :




On donne :
AB = 6,5 cm et
AD = 2,5 cm.





Quelles sont les dimensions réelles de cet appartement ?

Le plan est réalisé à l’échelle 1/200 signifie que :

  • - Le plan est une réduction de l’appartement de coefficient 1/200 ou
  • - L’appartement est un agrandissement du plan de coefficient 200.

6,5 × 200 = 1300 cm = 13 m et 2,5 × 200 = 500 cm = 5 m

Les dimensions réelles de cet appartement sont 13 mètres et 5 mètres.


Activité : agrandissement d'un cube



On considère un cube C1 d’arête 2 cm.

1) Calculer l’aire d’une face et le volume de ce cube.
Aire d’une face : A = 2² = 4 cm²
Volume du cube : V = 23 = 8 cm3 .

2) On multiplie la longueur de toute les  arêtes par 3 on obtient le cube C2.


a) Quelle est la longueur des arêtes du cube C2 ?
b) Calculer l’aire de chaque face du cube C2 puis le volume de ce cube.

a) Les arêtes du cube C2 mesurent 2 × 3 = 6 cm.
b) A = 6² = 36 cm².

L’aire de chaque face du cube C2 est 36 cm².
V = 63 = 216 cm3 .
Le volume du cube C2 est 216 cm3.


3) a) Par quel nombre l’aire de chaque face du cube C1 a-t-elle été multipliée pour obtenir l’aire de chaque face du cube C2 ?

On divise l’aire d’une face du cube C2 par l’aire d’une face du cube C1 :
36 ÷ 4 = 9 = 3²


b) Par quel nombre le volume du cube C1 a-t-il été multiplié pour obtenir le volume du cube C2 ?

On divise le volume du cube C2 par le volume du cube C1 :
216 ÷ 8 = 27 = 33



Propriétés des agrandissements et réductions sur les aires et volumes



Propriétés
:

Quand on agrandit, ou on réduit une figure, si les dimensions (ou longueurs) sont multipliées par k, alors :

- Les aires sont multipliées par k²
- Les volumes sont multipliés par k3.


Exemples


Exemple 1 :
Un terrain d’aire A = 900 m² est représenté sur un plan à l’échelle 1/2000.
Quelle est l’aire du terrain sur le plan ?

A’ = 900 × (1 / 2 000)² = 900 × (1 / 4 000 000 )= 0, 000 225 m² = 2,25 cm².
Donc, sur le plan, l’aire du terrain est 2,25 cm².


Exemple 2 :
Un pavé a un volume V de 125 cm3. Ses  dimensions sont multipliées par 2.
Quel est le volume du pavé agrandit ?

V’ = 125 × 23 =  125 × 8 = 1 000 cm3.
Le volume du pavé agrandit est 1 000 cm3.



Section d'une pyramide ou d'un cône de révolution


La section d’une pyramide ou d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base est une réduction de la base.

Cela signifie que c’est une figure de même nature (rectangle, carré, cercle…) mais dont les longueurs sont proportionnelles à la base.


Exemple : pyramide


Exemple :


Le plan est parallèle à la base ABCDEF donc :


La section HIJKLM est une réduction de l’hexagone ABCDEF.


Le coefficient de réduction est :




Exemple : cône de révolution


Exemple :


Le plan est parallèle à la base donc :


La section est un cercle.
Ce cercle est une réduction de la base du cône.


Le coefficient de réduction est :



 
         Cours complémentaires :

► Aires et volumes
► Agrandissement et réduction
dans le plan - 4ème

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